После изучения уравнений первого порядка в школах проходят тему квадратных равенств. Существует несколько методов их решения, однако применение формулы с дискриминантом является самым распространенным и универсальным. Рассмотрим в статье эту формулу решения уравнений квадратных.
Какие уравнения называются квадратными?
Ниже приведен рисунок, на котором изображено равенство, состоящее из трех слагаемых. Переменная x является неизвестной. Поскольку первый член содержит ее во второй степени, то данное выражение получило название квадратного. Латинскими буквами a, b и c в нем обозначены числовые коэффициенты.
Вам будет интересно:Какова площадь земного шара?
Это уравнение называют полным, поскольку в нем присутствуют все слагаемые, содержащие переменную во 2-й, 1-й и 0-й степенях (член c, называемый свободным, можно представить в виде c * x0).
Если один из коэффициентов b или c будет нулевым, тогда уравнение станет неполным. Заметим, что равенство нуля числа a автоматически преобразует рассматриваемое выражение в линейное уравнение.
Как для полных, так и для неполных равенств второго порядка можно использовать формулу решения уравнения квадратного через дискриминант.
Универсальная формула
Как было упомянуто выше, через дискриминант формула решения уравнения квадратного может использоваться для нахождения корней равенства второго порядка совершенно любого типа. Эта формула изображена на рисунке ниже.
Из нее видно, что уравнение максимум может иметь два решения (знак ±), однако если подкоренное выражение в знаменателе будет равно нулю, тогда неизвестный x, удовлетворяющий равенству, будет представлен единственным действительным числом. Формула решения уравнения квадратного демонстрирует также, что ее использование возможно в случае знания всех трех (или меньше для неполного уравнения) его коэффициентов.
Рассматриваемую формулу можно получить самостоятельно, для этого достаточно решить уравнение в общем виде с помощью метода дополнения до полного квадрата.
Отметим, что эту формулу для определения корней неполных уравнений нет необходимости использовать, поскольку существуют более простые методы решения (факторизация с помощью вынесения за скобки икса или простой перенос свободного члена в правую часть равенства и взятие корня из него).
Понятие дискриминанта и его значение
Если посмотреть еще раз на формулу решения уравнения квадратного через дискриминант, то последним будет называться разность, заключенная под знак корня в знаменателе, то есть b2 - 4 * a *c.
Какую роль он играет? Не зная об уравнении совершенно ничего, а имея только его дискриминант, можно с уверенностью сказать, сколько решений оно имеет, и какого они типа. Так, положительному значению дискриминанта соответствует 2 действительных решения, отрицательное его значение говорит также о 2-х решениях, но они уже будут комплексными числами. Наконец, если дискриминант равен нулю, что выполняется, когда b * b = 4 * a * c, то уравнение будет обладать лишь одним действительным корнем x.
Примеры решения равенств второго порядка
Используя формулу корней квадратного уравнения, решение уравнений квадратных приведем в задачах разного характера.
Задача № 1. Произведение некоторых 2-х чисел равно -84, а их сумма составляет 5. Нужно определить эти числа.
Составляем систему уравнений согласно заданному условию, получаем:
x1 * x2 = -84
x1 + x2 = 5
Выражаем из второго уравнения x1, подставляем его в первое:
(5 - x2) *x2 = -84 = -(x2)2 + 5 * x2
Теперь следует перенести члены с иксом и иксом в квадрате в левую часть и вычислить дискриминант:
(x2)2 - 5 * x2 - 84 = 0; D = 25 - 4 *1 * (-84) = 361
Воспользовавшись универсальной формулой, получаем значение корней уравнения:
x2 = (5 ± 19) / 2 = > x2 = (12; -7)
Чтобы получить x1, можно воспользоваться любым из уравнений системы. Подставляя известные значения x2, мы получим аналогичные числа для x1. Этот факт означает, что условию задачи удовлетворяет всего одна пара чисел, то есть -7 и 12.
Задача № 2. Теперь решим несколько необычную задачу. Ниже дано уравнение:
x2 − k * x + 36 = 0
Необходимо найти все значения k, которые приводили бы к единственному решению равенства.
Чтобы понять, как ответить на поставленный вопрос, следует вспомнить, что уравнения рассматриваемого типа имеет 1 корень только в том случае, если его дискриминант нулевой. То есть нам нужно найти этот дискриминант, откуда можно получить число k. Имеем:
D = k2 - 4 * 1 * 36 = 0
Полученное равенство называется чистым уравнением второго порядка (в нем нет коэффициента b). Решаем его:
k = ±√144 = ±12
Таким образом, если число k примет значение +12 или -12, то корень уравнения будет один.
