Дискриминант: примеры решения уравнений

Существуют несколько способов решения уравнений квадратных, однако использование формулы, которая связывает коэффициенты равенств названного типа, является универсальным. Этот способ часто называют методом "через дискриминант". Примеры решения уравнений квадратных с помощью него приводятся в данной статье. О них должен знать каждый старшеклассник.

Квадратные уравнения

Примеры с дискриминантом относятся к решению уравнений квадратных. Такие уравнения имеют вид, представленный на фото ниже.

Вам будет интересно:Диагностика Стребелевой: описание метода, применение, особенности, отзывы

Здесь a, b и c - это некоторые коэффициенты (числа), которые называются квадратичным, линейным и свободным членом, соответственно. Если известны значения икса такие, при которых равенство на фото является истиной, тогда говорят о том, что они являются корнями этого уравнения.

Как можно заметить, это уравнение называется квадратным, потому что "2" является максимальной степенью, в которую возводится x. Если a = 0, тогда уравнение превращается в линейное.

Вам будет интересно:Как правильно: Наталия или Наталья? Разбираемся вместе

Поскольку максимальная степень уравнения равна двум, то существовать могут только 0, 1 или 2 его корня, которые будут принимать действительные числовые значения.

Чтобы решить названное уравнение, можно воспользоваться несколькими методами. Тем не менее, самым простым и надежным из них является применение формулы с дискриминантом.

Какой формулой нужно пользоваться?

Формула метода решения уравнений квадратных через дискриминант записывается так, как представлено на рисунке ниже.

Можно видеть, что для ее использования необходимо знание всех трех коэффициентов уравнения, а знак "±", стоящий перед корнем, говорит о том, что формула позволяет находить одновременно два разных корня.

Подкоренное выражение называется дискриминантом. Он обычно обозначается латинской буквой D либо греческой Δ. Почему выделяют именно эту часть в представленной формуле? Дело в том, что от знака D зависит, сколько корней будет иметь соответствующее уравнение, и какими будут они.

Вам будет интересно:Эруковая кислота: где содержится, ее свойства и вред

Так, если D положительный, то выражение приводит к двум разным решениям уравнения квадратного, если же D отрицательный, тогда нет действительных чисел, которые бы удовлетворяли исходному равенству. В этом случае говорят о мнимых корнях, выраженных в виде комплексных чисел. Наконец, если D = 0, то формула приводит к существованию одного единственного корня.

Важные свойства корней в методе "через дискриминант"

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров уравнений с дискриминантом, необходимо привести два важных свойства корней, полученных методом решения с использованием рассматриваемой формулы.

Первое свойство заключается в том, что их сумма (x1 + x2) равна отношению линейного коэффициента (b) к первому или квадратичному коэффициенту (a), взятое с обратным знаком, то есть -b/a.

Второе свойство состоит в том, что произведение x1 * x2 всегда равно отношению свободного члена (c) к первому коэффициенту (a), то есть c / a.

Приведенные равенства, которые связывают корни уравнения с его коэффициентами, составляют суть так называемой теоремы Виета.

Отметим, что эти формулы справедливы для любого уравнения квадратного (в том числе и неполного, то есть у которого b или/и c равен нулю).

Далее в статье рассмотрим использование формулы с дискриминантом уравнения квадратного в примерах, которые будут сформулированы в виде задач, имеющих практическое значение.

Задача № 1. Произведение и сумма чисел

Первым примером уравнения с дискриминантом будет следующий: необходимо назвать два числа, сумма которых равна 34, а произведение 273.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений, обозначив неизвестных два числа, как x1 и x2. Получаем:

x1 + x2 = 34

x1 * x2 = 273.

Выразив x2 через x1 в первом уравнении, и подставив его во второе, имеем: (34 -x1) * x1 = 273. Раскрывая скобки, получим: (x1)2 - 34 * x1 + 273 = 0. То есть условие задачи свелось к решению уравнения квадратного.

Решаем этот пример формулой с дискриминантом: D = (-34)2 - 4 * 1 * 273 = 64. Получилось удобное для вычисления корня квадратного число. Решения этого уравнения будут иметь вид: x1 = (34 ± √64) / 2 = (21; 13). Каждое из полученных чисел x1 подставим в первое уравнение приведенной выше системы, получаем: x2 = (34 - 21 = 13; 34 - 13 = 21).

Таким образом, всего одна пара чисел (13 и 21) удовлетворяет условию задачи. Поскольку сумму мы уже проверили, то проверим теперь произведение: 13 * 21 = 273.

Задача №2. Составление и решение уравнения по заданному условию

В приведенном далее примере формула с дискриминантом также потребуется для его решения. Итак, условие формулируется следующим образом: найти число, двойной квадрат которого превосходит его на 45. Записываем языком математики это условие: 2 * x2 - x = 45. То есть снова задача сводится к нахождению неизвестного x в квадратном уравнении.

Перенесем все члены в левую часть равенства и вычислим дискриминант: D = 1 - 4 * 2 * (-45) = 361. Корень этого числа равен 19. Поэтому решениями уравнения будут числа: x = (1 ± 19) / (2 * 2) = (5; -4,5).

Проверим этот результат: 2 * 52 = 50, что действительно превосходит число 5 на 45; 2 * (-4,5)2 = 40,5, это число также удовлетворяет условию (40,5 - (-4,5) = 45).

Задача №3. Определение сторон прямоугольного треугольника

Еще одним примером с дискриминантом квадратного уравнения является следующая задача: известно, что разность между двумя сторонами прямоугольника равна 70 см. Необходимо найти его стороны, если диагональ фигуры равна 130 см.

Условие задачи позволяет составить систему из двух уравнений:

x1 - x2 = 70

(x1)2 + (x2)2 = 1302.

Здесь x1 и x2 - неизвестные стороны прямоугольника. Поясним, откуда взялось второе уравнение. Поскольку диагональ прямоугольника образует с двумя его сторонами треугольник с углом 90o, то стороны его, которые равны x1 и x2, являются катетами, поэтому можно воспользоваться их связью с диагональю -гипотенузой (теорема Пифагора).

Выразив из первого уравнения x2, подставив его значение во второе уравнение, и раскрыв в нем скобки, получаем: 2 * (x1)2 - 140 * x1 - 12 000 = 0. Решаем это классическое уравнение квадратное: D = (140)2 - 4 * 2 * (-12 000) = 115600. Использование калькулятора позволяет рассчитать корень из этого числа, он равен 340. Корни этого уравнения равны: x1 = (140 ± 340) / 4 = (120; -50). Отрицательное число следует сразу отбросить, поскольку сторона прямоугольника - положительная величина.

Подставляя x1 = 120 см в первое уравнение системы, получаем, что x2 = 50 см.

Таким образом, неизвестные стороны прямоугольника равны 120 см и 50 см.

Задача №4. Два мотоциклиста

Следующий пример уравнения через дискриминант связан с решением задачи про двух мотоциклистов. Известно, что каждый из них выехал навстречу другому. Начальное расстояние между ними было равно 130 км, скорость одного составляла 30 км/ч, а другой ехал со скоростью на 33 км/ч больше, чем число часов, через которые они встретились. Необходимо найти, через какое время встретятся мотоциклисты.

Обозначим неизвестное время буквой t. Из условия задачи следует, что скорость второго мотоциклиста равнялась 33 + t. До встречи каждый мотоциклист проехал расстояние 30 * t и (33 + t) * t. Очевидно, что в момент встречи оба транспортных средства преодолели суммарное расстояние 130 км (см. условие задачи). Тогда получаем уравнение: 30 * t + (33 + t) * t = 130. Раскрывая скобки, получаем следующий вид: t2 + 63 * t - 130 = 0. Вычисляем в этом примере дискриминант: D = (63)2 -4 * 1 * (-130) = 4489. Корень из него будет равен 67. Значения t, удовлетворяющие уравнению, будут равны: t = (-63 ± 67) / 2 = (2; -65). Поскольку время не может быть отрицательным, получаем ответ на задачу: мотоциклисты встретятся через 2 часа.

Задача №5. Аренда лодки группой молодых людей

Завершить эту статью хотелось бы примером и решением через дискриминант одной интересной задачи: несколько молодых людей решили арендовать лодку за 14 000 рублей. Они эту сумму поделили на всех. Однако в самый последний момент трое человек отказались плыть на лодке, поэтому каждый из оставшихся вынужден был доплатить еще 1500 рублей. Сколько человек хотели арендовать лодку изначально?

Пусть изначально было x молодых людей. Тогда каждый из них должен был заплатить сумму 14000 / x рублей. Как только трое человек отказались плыть, последняя сумма для каждого оставшегося стала равна 14000 / (x-3). Поскольку последняя сумма возросла по сравнению с первоначальной на одного человека на 1500 рублей, то можно составить такое уравнение: 14000 / (x-3) - 14000 / x = 1500.

Приведем это уравнение к квадратному. Имеем: 14000 * x - 14000 * x + 14000 * 3 = 1500 * x * (x-3). Раскрывая скобки и, упрощая выражение, получим: 1500 * x2 - 4500 * x - 42 000 = 0. Разделив обе части равенства на 1500, получим выражение: x2 - 3 * x - 28 = 0. Решаем этот пример дискриминантом: D = 9 - 4 * 1 * (-28) = 121. Тогда x = (3 ± 11) / 2 = (7; -4).

Таким образом, изначально группа молодых людей состояла из 7 человек.