03-02-2019 16:02

Момент инерции тела и материальной точки. Формулы для цилиндра и стержня. Физический смысл величины

В школьном курсе физики большое внимание уделяется описанию кинематики и динамики поступательного движения тел в трехмерном пространстве. Но вращательное движение играет не менее важную роль в технике и природе. В данной статье рассмотрим, что понимают под моментом инерции тела при его вращении вокруг оси.

Динамика вращения

Прежде чем давать определение момента инерции тела, расскажем, для чего нужна эта величина и в каких уравнениях она появляется. В первую очередь, это главное уравнение динамики вращения - формула моментов. Записывается она так:

Карцер – это помещение с особым режимом содержанияВам будет интересно:Карцер – это помещение с особым режимом содержания

M = I*α.

Здесь M, α и I - это момент силы, ускорение угловое и инерции момент, соответственно. По сути, это уравнение можно назвать вторым ньютоновским законом для вращательного движения. Несложно догадаться, что величина I здесь играет ту же самую роль, что инерционная масса в случае поступательного движения.

Помимо приведенного уравнения, существует еще одна важная формула, которая применяется часто для решения задач на вращение тел - это закон сохранения момента импульса. Его, как правило, записывают в следующей удобной для практики форме:

I*ω = const.

Как видим, здесь инерции момент тоже является ключевой величиной, ω - это скорость угловая.

Момент инерции твердого тела

Моменты инерции разных тел

Теперь пришло время дать определение величине I. Сначала рассмотрим его для материальной точки. Ее моментом инерции называется произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения. Если массу обозначить буквой m, а дистанцию до оси от точки буквой r, то формула для I запишется так:

I = m*r2.

Как видно, I выражается в кг*м2. Равенство для точки можно использовать для определения момента инерции тела относительно оси. В этом случае применяют следующее интегральное выражение:

I = ∫m(r2*dm).

Эта формула применяется для вычисления величин I абсолютно любых систем с разными геометрическими формами. Последнее равенство также используют при решении практических задач в следующем виде:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Где ρ - плотность вещества. Ниже в статье покажем, как использовать интегральное равенство для решения конкретных задач.

Величина I для цилиндра

Каждый школьник представляет себе фигуру "цилиндр". По правде говоря, они бывают самыми разными (эллиптическими, гиперболическими, наклонными). Здесь рассмотрим самый простой случай. Это круговой прямой цилиндр, который ограничен цилиндрической поверхностью и двумя одинаковыми кругами. Ось вращения фигуры проходит через ее центр масс и через центры обоих оснований. Вычислим относительно нее инерции момент тела.

Круглый цилиндр

Запишем исходную формулу:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Чтобы ее применить, представим себе цилиндр в виде тонко нарезанных круглых одинаковых слоев. Обозначим их толщину dl, радиус фигуры равен R, а высота - L. Теперь каждый тонкий слой объемом pi*R2*dl разрежем на бесконечное множество колец, толщина каждого из которых равна dr. После выполнения всех описанных мысленных геометрических операций можно записать формулу для элементарного объема dV, то есть для объема одного кольца:

dV = 2*pi*r*dr*dl.

В результате этого представления исходное выражение для I преобразуется в формулу с двойным интегралом:

I = ∫L∫R(ρ*r2*2*pi*r*dr*dl) = 2*pi*ρ*L*R4/4 = M*R2/2.

Где буквой M обозначена масса всего цилиндра.

Таким образом, мы получили конечное выражение для инерции момента цилиндра. Как видно, он определяется только радиусом фигуры и ее массой и не зависит от длины (высоты). Последнее означает, что аналогичную формулу можно применять для определения величины I для диска любой толщины.

Величина I для стержня

Теперь применим формулу для определения момента инерции тонкого стержня. Принципиальным моментом здесь является тот факт, что его толщина должна быть намного меньше длины L. Массу стержня обозначим буквой M. Момент инерции рассчитаем для положения оси, которая проходит через центр масс тела и перпендикулярна ему.

Моменты инерции стержня

Начнем расчет все с той же формулы, что и в случае с цилиндром:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Мысленно разрежем весь стержень на тонкие слои. Обозначим площадь сечения каждого из них S, а его толщину - dl. Тогда получаем формулу для dV:

dV = S*dl.

Теперь можно вычислить инерции момент тела:

I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl).

Заметим, что каждый слой находится от оси вращения на расстоянии l, поэтому мы заменили букву r. Кроме того, обращаем внимание на пределы интегрирования, которые имеют такое значение потому, что ось проходит точно через середину стержня. В итоге получаем:

I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl) = ρ*S*l3/3|-L/2+L/2 = M*L2/12.

С помощью аналогичных рассуждений и вычислений можно показать, что если ось вращения проходит через какой-либо конец стержня, то его момент инерции будет в четыре раза больше, то есть:

I = M*L2/3.

Физический смысл величины

Выше мы уже сказали несколько слов о том, что означает момент инерции тела с физической точки зрения. Здесь остановимся несколько подробнее на этом вопросе.

Если внимательно посмотреть на формулу для I, то можно увидеть, что эта величина зависит не только от самой массы тела, но и от ее распределения, то есть от формы тела, а также от его положения относительно оси вращения.

Моменты инерции швабры

Ярким примером являются обычная швабра или просто стержень. Каждый человек хоть раз в жизни раскручивал швабру вокруг оси, проходящей вдоль ее ручки или перпендикулярно ей. В первом случае легкого движения ладоней достаточно, чтобы придать угловое ускорение швабре, во втором же - приходится прилагать некоторую силу рук, чтобы раскрутить ее. Объяснить этот факт просто. В первом случае момент инерции практически равен нулю, во втором - он имеет некоторую конечную величину.



Источник