Изучением характеристик трехмерных геометрических фигур занимается стереометрия. Одна из известных объемных фигур, которая появляется в задачах по геометрии, - это прямая призма. Рассмотрим в данной статье, что она собой представляет, а также подробно охарактеризуем призму с треугольным основанием.
Призма и ее виды
Под призмой подразумевают такую фигуру, которая образуется в результате параллельного переноса многоугольника в пространстве. В результате этой геометрической операции образуется фигура, состоящая из нескольких параллелограммов и двух одинаковых параллельных друг другу многоугольников. Параллелограммы являются боковыми сторонами призмы, а многоугольники - это ее основания.
Вам будет интересно:Неудача - это... Значение слова, применение, синонимы
Любая призма имеет n+2 стороны, 3*n ребер и 2*n вершин, где n - число углов или сторон многоугольного основания. На изображении показана пятиугольная призма, которая состоит из 7 сторон, 10 вершин и 15 ребер.
Рассматриваемый класс фигур представлен призмами нескольких видов. Перечислим их кратко:
- вогнутые и выпуклые;
- наклонные и прямые;
- неправильные и правильные.
Каждая фигура относится к одному из перечисленных трех видов классификации. Во время решения геометрических задач проще всего выполнять расчеты для правильных и прямых призм. Последние подробнее рассмотрим в следующих пунктах статьи.
Что это - призма прямая?
Прямой называется вогнутая или выпуклая, правильная или неправильная призма, у которой все боковые стороны представлены четырехугольниками с углами 90°. Если хотя бы один из четырехугольников боковых сторон не будет прямоугольником или квадратом, то призма называется наклонной. Можно также дать другое определение: прямая призма - это такая фигура данного класса, у которой любое боковое ребро равно высоте. Под высотой h призмы полагают дистанцию между ее основаниями.
Оба приведенных определения того, что это - прямая призма, являются равноправными и самодостаточными. Из них следует, что все двугранные углы между любым из оснований и каждой боковой стороной равны 90°.
Выше было сказано, что с прямыми фигурами удобно работать при решении задач. Это связано с тем, что высота совпадает с длиной бокового ребра. Последний факт облегчает процесс вычисления объема фигуры и площади ее боковой поверхности.
Объем прямой призмы
Объем - свойственная любой пространственной фигуре величина, которая численно отражает часть пространства, заключенного между поверхностями рассматриваемого объекта. Объем призмы может быть рассчитан по следующей общей формуле:
V = So*h.
То есть произведение высоты на площадь основания даст искомое значение V. Поскольку у прямой призмы основания равны, то для определения площади So можно брать любое из них.
Преимущество использования приведенной выше формулы именно для прямой призмы в сравнении с другими ее видами заключается в том, что высоту фигуры найти очень просто, так как она совпадает с длиной бокового ребра.
Площадь боковой поверхности
Удобно рассчитывать не только объем для прямой фигуры рассматриваемого класса, но также ее боковую поверхность. Действительно, любая ее боковая сторона - это либо прямоугольник, либо квадрат. Как вычислить площадь этих плоских фигур, знает каждый школьник, для этого необходимо умножить смежные стороны друг на друга.
Предположим, что в основании призмы лежит произвольный n-угольник, стороны которого равны ai. Индекс i пробегает значения от 1 до n. Площадь одного прямоугольника вычисляется так:
Si = ai*h.
Площадь поверхности боковой Sb нетрудно вычислить, если сложить все площади Si прямоугольников. В таком случае получаем конечную формулу для Sb прямой призмы:
Sb = h*∑i=1n(ai) = h*Po.
Таким образом, чтобы определить площадь боковой поверхности для прямой призмы, необходимо умножить ее высоту на периметр одного основания.
Задача с треугольной призмой
Предположим, что задана прямая призма. Основание - прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны 12 см и 8 см. Необходимо рассчитать объем фигуры и ее полную площадь, если высота призмы составляет 15 см.
Для начала вычислим объем прямой призмы. Треугольник (прямоугольный), находящийся в ее основаниях, имеет площадь:
So = a1*a2/2 = 12*8/2 = 48 см2.
Как можно догадаться, a1 и a2 в этом равенстве являются катетами. Зная площадь основания и высоту (см. условие задачи), можно воспользоваться формулой для V:
V = So*h = 48*15 = 720 см3.
Полная площадь фигуры образована двумя частями: площадями оснований и боковой поверхностью. Площади двух оснований равны:
S2o = 2*So = 48*2 = 96 см2.
Для вычисления площади боковой поверхности необходимо знать периметр прямоугольного треугольника. Вычислим по теореме Пифагора его гипотенузу a3, имеем:
a3 = √(a12 + a22) = √(122 + 82) = 14,42 см.
Тогда периметр треугольника основания прямой призмы составит:
P = a1 + a2 + a3 = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 см.
Применяя формулу для Sb, которая была записана в предыдущем пункте, получаем:
Sb = h*P = 15*34,42 = 516,3 см.
Сложив площади S2o и Sb, мы получим полную площадь поверхности изучаемой геометрической фигуры:
S = S2o + Sb = 96 + 516,3 = 612,3 см2.
Треугольная призма, которую изготавливают из специальных видов стекла, применяется в оптике при изучении спектров излучающих свет объектов. Такие призмы способны разлагать свет на составляющие частоты благодаря явлению дисперсии.
