16-11-2018 20:51

Условия перпендикулярности двух прямых и прямой и плоскости

Многие геометрические фигуры образованы пересекающимися под прямым углом прямыми. Например, это квадрат, прямоугольник, прямоугольный треугольник или прямая четырехугольная призма. В данной статье рассмотрим вопрос перпендикулярности двух прямых и условия, которые должны выполняться, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости.

Какие уравнения важно знать?

Прямая и плоскость

Условия перпендикулярности двух прямых и прямой и плоскости не сложно получить, если известны соответствующие уравнения для названных геометрических объектов.

Система Тейлора, ее проблемы и достоинстваВам будет интересно:Система Тейлора, ее проблемы и достоинства

Уравнение любой прямой как на плоскости, так и в пространстве может быть записано в универсальном векторном виде. Для трехмерного случая оно выглядит следующим образом:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ*(a; b; c)

Здесь переменные x, z и y являются координатами в выбранной системе, λ - любое действительное число, а тройка чисел (a; b; c) задают вектор в пространстве, который называется направляющим (вдоль него направлена прямая, проходящая через точку с координатами (x0; y0; z0)). Это уравнение может быть преобразовано в общий вид, в каноническое и параметрическое.

Плоскость удобнее всего представлять в общем виде, что соответствует уравнению:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Большие латинские буквы представляют собой коэффициенты. Это выражение также может быть представлено в векторном, параметрическом видах и в форме уравнения в отрезках. Удобство приведенной формы записи заключается в том, что первые три коэффициента соответствуют координатам вектора, который перпендикулярен этой плоскости, то есть:

n¯(A; B; C) - направляющий вектор плоскости

Перпендикулярность двух прямых

Перпендикулярные прямые на плоскости

Условие перпендикулярности прямых не сложно понять, для этого достаточно установить, являются ли перпендикулярными их направляющие вектора. Последнее можно выяснить, вычислив скалярное произведение. Предположим, что v¯ и u¯ - вектора направляющие для двух прямых. Если последние являются перпендикулярными, тогда:

(v¯*u¯) = 0

Это условие перпендикулярности двух прямых является обязательным. Тем не менее, оно будет достаточным только для случая двумерного пространства. В трехмерном же пространстве, помимо этого выражения, также следует вычислить расстояние между прямыми. Если равенство выше выполняется, и указанное расстояние равно нулю, тогда прямые будут пересекаться под углом 90o, то есть будут перпендикулярными.

Для расчета дистанции d между прямыми в пространстве пользуются выражением:

d = |[M1M2¯*u¯]|/|u¯|

Здесь M1M2¯ - вектор, построенный на двух точках, каждая из которых принадлежит соответствующей прямой (M1 лежит на первой прямой, M2 - на второй).

Плоскость и прямая

Перпендикулярные плоскость и прямая

Перпендикулярности условие для этих объектов имеет следующий вид:

u¯ = k*n¯

Иными словами, прямая будет пересекать плоскость под углом 90o только тогда, когда ее направляющий вектор будет параллелен нормали к плоскости. Факт параллельности означает, что вектор прямой u¯ можно получить, умножив нормальный к плоскости вектор n¯ на некоторое конкретное число k.

Существуют также другие способы узнать, являются ли параллельными вектора u¯ и n¯. Например, в случае их параллельности угол между ними должен быть равен нулю, то есть косинус угла, рассчитанного через скалярное произведение, будет равен 1. В свою очередь векторное произведение параллельных векторов равно нулю.

Заметим, если плоскость и прямая заданы не в общем и векторном виде, соответственно, тогда следует привести их к этим видам, а затем пользоваться приведенными формулами условий перпендикулярности.



Источник