Любая физическая величина, которая предлагается в математических уравнениях при изучении того или иного явления природы, несет некоторый смысл. Не является исключением из этого правила и момент инерции. Физический смысл этой величины подробно рассмотрен в данной статье.
Момент инерции: математическая формулировка
В первую очередь следует сказать, что рассматриваемая физическая величина используется для описания систем вращения, то есть таких движений объекта, которые характеризуются круговыми траекториями вокруг некоторой оси или точки.
Вам будет интересно:Что это - нанометр? Сравнение с метром, понятие о нанотехнологиях, интересные факты
Приведем математическую формулу момента инерции для материальной точки:
I = m*r2.
Здесь m и r - масса и радиус вращения частицы (расстояние до оси) соответственно. Любое твердое тело, каким бы сложным оно ни было, мысленно можно разбить на материальные точки. Тогда формула момента инерции в общем виде будет иметь вид:
I = ∫mr2dm.
Это выражение справедливо всегда, причем не только для трехмерных, но и для двумерных (одномерных) тел, то есть для плоскостей и стержней.
Из этих формул трудно понять смысл физический момента инерции, однако можно сделать важный вывод: он зависит от распределения массы в теле, которое вращается, а также от расстояния до оси вращения. Причем зависимость от r является более резкой, чем от m (см. знак квадрата в формулах).
Движение по окружности
Понять, каков физический смысл момента инерции, невозможно, если не рассмотреть круговое движение тел. Не вдаваясь в подробности, приведем сразу два математических выражения, описывающих вращение:
I1*ω1 = I2*ω2;
M = I *dω/dt.
Верхнее уравнение носит название закона сохранения величины L (момента импульса). Оно означает, что какие бы изменения ни происходили внутри системы (сначала был момент инерции I1, а затем он стал равным I2), произведение I на угловую скорость ω, то есть момент импульса, будет оставаться неизменным.
Нижнее выражение демонстрирует изменение скорости вращения системы (dω/dt) при воздействии на нее некоторого момента силы M, который имеет внешний характер, то есть порождается силами, не связанными с внутренними процессами в рассматриваемой системе.
И в верхнем, и в нижнем равенствах присутствует I, причем чем больше ее значение, тем меньше будет угловая скорость ω или угловое ускорение dω/dt. В этом и заключается физический смысл момента инерции тела: он отражает способность системы сохранять свою угловую скорость. Чем больше I, тем сильнее проявляется эта способность.
Аналогия с линейным импульсом
Теперь перейдем к тому же выводу, что был озвучен в конце предыдущего пункта, проведя аналогию между вращательным и поступательным движениями в физике. Как известно, последнее описывается следующей формулой:
p = m*v.
Это простое выражение определяет импульс системы. Сравним его форму с таковой для момента импульса (см. верхнее выражение в предыдущем пункте). Мы видим, что величины v и ω имеют одинаковый смысл: первая характеризует скорость изменения линейных координат объекта, вторая - угловых координат. Поскольку обе формулы описывают процесс равномерного (равноуглового) движения, то величины m и I также должны иметь одинаковый смысл.
Теперь рассмотрим 2-й закон Ньютона, который выражается формулой:
F = m*a.
Обращая внимание на форму записи нижнего равенства в предыдущем пункте, имеем подобную рассмотренной ситуацию. Момент силы M в его линейной представлении - это сила F, а линейное ускорение a полностью аналогично угловому dω/dt. И снова мы приходим к эквивалентности массы и момента инерции.
Какой смысл несет масса в классической механике? Она является мерой инерции: чем больше m, тем труднее сдвинуть предмет с места, а тем более придать ему ускорение. То же самое можно сказать и о моменте инерции применительно к движению вращения.
Физический смысл момента инерции на бытовом примере
Зададимся простым вопросом о том, как легче крутить металлический стержень, например, арматуру - когда ось вращение направлена вдоль его длины или когда поперек? Конечно же, легче раскрутить стержень в первом случае, потому что его момент инерции для такого положения оси будет очень маленьким (для тонкого стержня он равен нулю). Поэтому достаточно зажать между ладошек предмет и легким движением привести его во вращение.
Кстати, описанный факт экспериментально проверили наши предки еще в стародавние времена, когда научились добывать огонь. Они раскручивали палочку с огромными угловыми ускорениями, что приводило к созданию больших сил трения и, как следствие, к выделению значительного количества теплоты.
Маховик авто - яркий пример использования большого значения момента инерции
В завершение хотелось бы привести, пожалуй, самый важный для современной техники пример использования физического смысла момента инерции. Маховик авто представляет собой сплошной стальной диск, имеющий относительно большие радиус и массу. Эти две величины обуславливают существование значительной величины I, характеризующей его. Маховик призван "смягчать" любые силовые воздействия на коленвал автомобиля. Импульсивный характер действующих моментов сил от цилиндров двигателя на коленвал сглаживается и делается плавным благодаря тяжелому маховику.
Кстати, чем больше момент импульса, тем больше энергии находится во вращающейся системе (аналогия с массой). Этот факт хотят использовать инженеры, запасая энергию торможения авто в маховике, чтобы впоследствии направить ее на разгон транспортного средства.
