Если сказать просто и кратко, то область определения - это те значения, которые может принимать какая-либо функция. Для того чтобы до конца исследовать эту тему, нужно поэтапно разобрать следующие пункты и понятия. Для начала давайте разберемся с определением функции и историей его появления.
Что такое функция
Все точные науки предоставляют нам множество примеров, когда рассматриваемые переменные каким-то образом зависят одна от другой. Например, плотность вещества полностью определяется его массой и объемом. Давление идеального газа при постоянном объеме варьируется вместе с температурой. Эти примеры объединяет тот факт, что все формулы имеют зависимости между переменными, которые и называются функциональными.
Вам будет интересно:Лопухина Евдокия Федоровна, первая супруга Петра I: биография, семья, постриг
Функция - это понятие, выражающее зависимость одной величины от другой. Имеет вид y = f(x), где у - значение функции, которое зависит от х - аргумента. Таким образом, можно сказать, что у - переменная, зависимая от значения х. Значения, которые может принимать х, в совокупности составляют область определения заданной функции (D(y) или D(f)), а соответственно, значения у составляют множество значений функции (E(f) или E(y)). Бывают случаи, когда функция задана какой-либо формулой. В таком случае область определения состоит из значения таких переменных, при котором запись с формулой имеет смысл.
Вам будет интересно:Мария Медичи: биография, личная жизнь, годы правления, политика, фото
Есть совпадающие или равные функции. Это две функции, у которых равны области допустимых значений, а также значения самой функции равны при всех одинаковых аргументах.
Многие законы точных наук называются аналогично ситуациям в реальной жизни. Есть такой интересный факт также и о математической функции. Существует теорема о пределе функции, "зажатой" между двумя другими, имеющими одинаковый предел, - о двух полицейских. Объясняют ее так: раз уж два полицейских ведут между собой заключенного в камеру, то преступник вынужден туда идти, и выбора у него просто нет.
Историческая справка о функции
Вам будет интересно:Химический элемент висмут: температура плавления и другие свойства
Понятие функции не сразу стало окончательным и точным, оно претерпело длинный путь становления. Сначала в работе Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест», которую опубликовали в конце 17-го века, говорилось следующее:
Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место.
В целом этот труд говорит о функциональной зависимости и ее материальном изображении (место = линия).
Также приблизительно в это же время Рене Декарт изучал линии по их уравнениям в своей работе "Геометрия" (1637 год), где опять же прослеживался факт зависимости двух величин друг от друга.
Само упоминание о термине "функция" появилось только в конце 17-го века у Лейбница, но не в современной его интерпретации. В своем научном труде он посчитал, что функция - это различные отрезки, связанные с какой-либо кривой линией.
Но вот уже в 18-м веке функцию начали определять более верно. Бернулли писал следующее:
Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной.
Размышления Эйлера были также близки к этому:
Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.
***
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых.
График функции
График функции составляют все точки, принадлежащие осям координатной плоскости, абсциссы которых принимают значения аргумента, а значения функции в этих точках являются ординатами.
Область определения функции напрямую связана с ее графиком, потому что если какие-либо абсциссы исключаются областью допустимых значений, то нужно рисовать пустые точки на графике или же рисовать график в определенных пределах. Например, если берется график вида y = tgx, то из области определения исключается значение x = pi/2 +pi*n, n∉R, в случае с графиком тангенса нужно нарисовать вертикальные линии параллельно оси Оу (они называются асимптоты), проходящие через точки ±pi/2.
Вам будет интересно:Форт - это что значит?
Любые основательные и тщательные исследования функций составляют большой раздел математики, который называется математическим анализом. В простейшей математике тоже затрагивают элементарные вопросы, касающиеся функций, например построение простого графика и установление некоторых основных свойств функции.
Чем может быть задана функция
Функция может:
- являться формулой, например: y = cos x;
- задаваться какой-либо таблицей из пар вида (х; у);
- сразу иметь графический вид, для этого пары из прошлого пункта вида (х; у) должны быть изображены на осях координат.
Будьте внимательны при решении некоторых заданий высокого уровня, практически любое выражение можно рассматривать как функцию относительно какого-либо аргумента для значения функции y (x). Найти область определения в таких заданиях может стать ключом к решению.
Для чего нужна область определения?
Первое, что нужно знать о функции для ее изучения или построения, - это ее область определения. График должен содержать только те точки, в которых функция может существовать. Область определения (х) может также называться областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ).
Чтобы правильно и быстро построить график функций, вам необходимо знать область определения данной функции, потому что от нее зависит внешний вид графика и верность построения. Например, для построения функции y = √x нужно знать, что х может принимать только положительные значения. Поэтому строится только в первой координатной четверти.
Область определения на примере элементарных функций
В своем арсенале математика имеет малое количество простых, определенных функций. У них ограниченная область определения. Решение этого вопроса не вызовет сложностей даже в том случае, если перед вами оказалась так называемая сложная функция. Это всего лишь комбинация из нескольких простых.
Чем отличается работа со сложными функциями
Помните несколько основных правил. Если работаем со сложной функцией, то не нужно что-то решать, упрощать, складывать дроби, приводить к наименьшему общему знаменателю и извлекать корни. Мы должны исследовать данную функцию, потому что различные (даже тождественные) операции могут изменить область определения функции, что приведет к получению неверного ответа.
Например, имеем сложную функцию: y = (x2 - 4)/(x - 2). Мы не можем сократить числитель и знаменатель дроби, так как это возможно, только если х ≠ 2, а это и является задачей поиска области определения функции, поэтому не раскладываем на множители числитель и не решаем никаких неравенств, ведь значение, при котором функция не существует, видно невооруженным взглядом. В данном случае х не может принимать значения 2, так как знаменатель не может обращаться в 0, запись будет выглядеть так: D(y) = x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Взаимно-обратные функции
Для начала стоит сказать, что функция может стать обратимой только на промежутке возрастания или убывания. Для того чтобы найти обратную функцию, нужно в записи поменять местами х и у и решить уравнение относительно х. Области определения и области значения просто меняются местами.
Главное условие обратимости - монотонный промежуток функции, если функция имеет промежутки возрастания и убывания, то можно составить обратную ей функцию какого-либо одного промежутка (возрастающего или убывающего).
Например, для экспоненциальной функции y = ex взаимно-обратной будет натуральная логарифмическая y = logea = lna. Для тригонометрических это будут функции с приставкой arc-: y = sinx и y = arcsinx и так далее. Графики будут располагаться симметрично по отношению к некоторым осям или асимптотам.
Выводы
Поиск области допустимых значений сводится к исследованию графика функций (если он есть), записи и решению необходимой конкретной системы неравенств.
Так, эта статья вам помогла понять, для чего нужна область определения функции и как ее найти. Надеемся, что она поможет вам хорошо разбираться в базовом школьном курсе.
