Арифметическая прогрессия (9 класс): формулы, примеры

Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a1, a2, a3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Вам будет интересно:Что такое "сибарит": этимология слова

Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a2-a1 =...=an-an-1=d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a1=a2 =...=an.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:

Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a1+an оказывается эквивалентной суммам a2+an-1, a3+an-2 и так далее. Действительно, поскольку a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, и an-1 = -d+an, то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для Sn) появляется из-за того, что сумм типа ai+1+an-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы Sn впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Далее в статье рассмотрим примеры с формулами арифметической прогрессии.

Пример задачи №1: найдите разность

Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.

Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.

Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.

Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a1 = 8 и a5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: an = a1+d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a1 и a5. Воспользуемся последним способом, получаем: a5 = a1+d*(-1+5) или a5 = 4*d+a1, откуда следует, что d = (a5-a1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8 )/4 = -4,5.

Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a9 имеем следующее выражение: a1+d*(9-1) = a9. Откуда легко получаем первый элемент ряда: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a1, однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a15 = d*(15-1)+a1 и a23 = d*(23-1)+a1. Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a1, поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a15 = 14*d+a1, откуда: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a1 через второе выражение: a23 = d*22+a1 или a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы Sn.

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S11 =11*(-1,1 +(-11,1) )/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:

Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Вычислим две суммы: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S7-13.