Окружность - основная фигура в геометрии, свойства которой рассматривают в школе в 8 классе. Одна из типичных задач, связанных с окружностью, заключается в нахождении площади некоторой ее части, которая носит название кругового сектора. В статье приводятся формулы площади сектора и длины его дуги, а также пример их использования для решения конкретной задачи.
Понятие об окружности и круге
Перед тем как приводить формулу площади сектора окружности, рассмотрим, что собой представляет указанная фигура. Согласно математическому определению, под окружностью понимают такую фигуру на плоскости, все точки которой равноудалены от некоторой одной точки (центра).
Вам будет интересно:Вячеславна или Вячеславовна? Учимся правильно писать.
Когда рассматривают окружность, то пользуются следующей терминологией:
- Радиус - отрезок, который проводится от центральной точки до кривой окружности. Его принято обозначать буквой R.
- Диаметр - это отрезок, который соединяет две точки окружности, но при этом проходит также через центр фигуры. Его обычно обозначают буквой D.
- Дуга - это часть кривой окружности. Измеряют ее либо в единицах длины, либо с использованием углов.
Круг - еще одна важная фигура геометрии, он представляет собой совокупность точек, которая ограничена кривой окружности.
Площадь круга и длина окружности
Отмеченные в названии пункта величины рассчитываются с использованием двух простых формул. Они приведены ниже:
- Длина окружности: L = 2*pi*R.
- Площадь круга: S = pi*R2.
В этих формулах pi - это некоторая константа, которая называется числом Пи. Оно является иррациональным, то есть не может быть точно выражено простой дробью. Приблизительно число Пи равно 3,1416.
Как видно из приведенных выражений, чтобы рассчитать площадь и длину достаточно знать только радиус окружности.
Площадь сектора круга и длина его дуги
Перед тем как рассматривать соответствующие формулы, напомним, что угол в геометрии принято выражать двумя основными способами:
- в шестидесятеричных градусах, причем полный оборот вокруг своей оси равен 360o;
- в радианах, которые выражаются в долях числа pi и связаны с градусами следующим равенством: 2*pi = 360o.
Сектор круга - это фигура, ограниченная тремя линиями: дугой окружности и двумя радиусами, находящимися на концах этой дуги. Пример кругового сектора изображен на фото ниже.
Получив представление о том, что такое сектор для круга, легко понять, как вычислить его площадь и длину соответствующей дуги. Из рисунка выше видно, что дуге сектора соответствует угол θ. Мы знаем, что полная окружность соответствует 2*pi радианам, значит, формула площади кругового сектора примет вид: S1 = S*θ/(2*pi) = pi*R2*θ/(2*pi) = θ*R2/2. Здесь угол θ выражен в радианах. Аналогичная формула площади сектора в случае, если угол θ измеряется в градусах, будет иметь вид: S1 = pi*θ*R2/360.
Длина дуги, образующей сектор, вычисляется по формуле: L1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. И если θ известен в градусах, тогда: L1 = pi*θ*R/180.
Пример решения задачи
Покажем на примере простой задачи, как пользоваться формулами площади сектора круга и длины его дуги.
Известно, что колесо имеет 12 спиц. Когда колесо делает один полный оборот, то оно преодолевает расстояние 1,5 метра. Чему равна площадь, заключенная между двумя соседними спицами колеса, и чему равна длина дуги между ними?
Как видно из соответствующих формул, чтобы ими пользоваться, необходимо знать две величины: радиус окружности и угол дуги. Радиус можно вычислить, исходя из знания длины окружности колеса, поскольку пройденное им расстояние за один оборот, точно ей соответствует. Имеем: 2*R*pi = 1,5, откуда: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 метра. Угол между ближайшими спицами можно определить, зная их число. Полагая, что все 12 спиц делят равномерно круг на равные сектора, мы получаем 12 одинаковых секторов. Соответственно, угловая мера дуги между двумя спицами равна: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 радиан.
Мы нашли все необходимые величины, теперь их можно подставить в формулы и посчитать требуемые условием задачи значения. Получаем: S1 = 0,5236*(0,2387)2/2 = 0,0149 м2, или 149 см2; L1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 м, или 12,5 см.
