Треугольник является самой простой замкнутой фигурой на плоскости. При изучении школьного курса геометрии рассмотрению его свойств уделяют особое внимание. В данной статье раскроем вопрос признаков подобия и равенства треугольников.
Какие треугольники называются подобными, а какие равными?
Логично предположить, что две рассматриваемые фигуры будут равны между собой, если они имеют все одинаковые углы и длины сторон. Что касается подобия, то здесь дело обстоит немного сложнее. Два треугольника будут подобны тогда, когда каждый угол одного будет равен соответствующему углу другого, а стороны, лежащие напротив равных углов обеих фигур, будут пропорциональны. Ниже изображен рисунок, на котором представлены два подобных треугольника.
Вам будет интересно:Полемизировать – это значит, спорить правильно
Используя этот рисунок, запишем в виде математических равенств данное выше определение: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, здесь одна латинская буква означает угол, а две буквы - длину стороны. Величина r носит название коэффициента подобия. Понятно, что если r = 1, то имеют место не только подобные, но и равные треугольники.
Признаки подобия
Говоря о свойствах и признаках подобия и равенства треугольников, следует перечислить три основных критерия, по которым можно определить, являются ли рассматриваемые фигуры подобными или нет.
Итак, две фигуры будут подобными между собой, если выполняется одно из следующих условий:
Отметим еще раз, что для доказательства подобия достаточно привести какой-либо один из представленных признаков. Логично, что все остальные будут выполняться также.
Прямоугольные треугольники: когда они подобны, а когда равны?
Говоря о признаках равенства и подобия прямоугольных треугольников, следует отметить сразу, что у каждого из них по одному углу уже равны (90o).
Последний факт приводит к следующей формулировке изложенных выше критериев подобия:
Что касается равенства треугольников с прямыми углами, то здесь просто запомнить: если два каких-либо элемента (прямой угол не считается) обеих фигур равны, то равны и сами фигуры. Например, этими двумя элементами могут быть острый угол и катет, катет и гипотенуза или гипотенуза и острый угол.
Свойства треугольников подобных
Из рассмотренных признаков подобия и равенства треугольников свойства можно выделить такие:
Оба эти свойства можно доказать самостоятельно. Суть доказательства сводится к применению математической записи подобия между сторонами фигур. Здесь приведем лишь доказательство 1-го свойства.
Пусть a, b, c - длины сторон одного треугольника и a', b', c' - стороны второго. Поскольку фигуры подобны, то можно записать: a = r * a', b = r * b', c = r * c'. Теперь эти выражения подставим в отношении их периметров, получим: P1 / P2 = (a + b + c) / (a' + b' + c') = (r * a' + r * b' + r*c') / (a' + b' + c') = r(a' + b' + c') / (a' + b' + c') = r.
Пример решения задачи
Признаки подобия и равенства треугольников можно использовать для решения различных геометрических задач. Ниже приводится один из примеров.
Имеются два треугольника. У одного из них стороны равны 7,6 см, 4,18 см и 6,65 см, а у другого 3,5 см, 2,2 см и 4 см. Необходимо определить, подобны ли эти фигуры.
Поскольку даны значения трех сторон, то можно сразу проверить 3-й критерий подобия. Сложность здесь состоит в том, что нужно понять, между какими сторонами брать отношения. Тут следует воспользоваться простыми логическими рассуждениями: коэффициенты подобия могут быть равными, если делить самую маленькую сторону одного треугольника на аналогичную для другого и так далее. Поэтому имеем: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Проверив отношение всех сторон, можно с уверенностью сказать, что треугольники являются подобными, поскольку выполняется 3-й критерий.